MPA S2 algèbre. Devoir maison à rendre pour le 6

mars 2014.

C. Huyghe

Ce devoir interviendra dans la note de contrôle continu.

1. 1- On appelle racine -ième de l’unité dans ℂ un nombre complexe tel que = 1. On dit que est primitive si

= 1 =

Donner un exemple de racine -ième primitive de l’unité dans ℂ (sous forme exponentielle).

2- Soit une racine -ième de l’unité dans ℂ. Montrer que

1 + + + ^{1} = 0

En déduire que

_{=0}^{1} \frac{2}{}= 0

3- Donner la liste des racines 5-ième de l’unité. 4- Soient une racine 5-ième de l’unité et ℂ une racine de ( ) = ^{5} +

1. Montrer que est une racine de . En déduire le calcul des 5 racines complexes de .

2. 1- Pour ℂ, on pose

( ) = \frac{1}{+ 1}

Montrer que induit une bijection : : ℂ 1 ℂ 1 . Calculer la bijection réciproque ^{1} : ℂ 1 ℂ 1 .

2- Montrer que pour  1  1 , on a

\frac{1 + ^{\frac{2}{}}}{1 ^{\frac{2}{}}}= \frac{}{}

3- Combien l’équation dans ℂ, ( 1)^{}= ( + 1)^{}a-t-elle de solutions (en comptant les racines avec multiplicité) ? Résoudre cetteéquation. En déduire une factorisation du polynôme ( ) = ( 1)^{}( + 1)^{}.

3. Répondre par V (Vrai) ou F (Faux) aux questions suivantes. Donner une démonstration si la proposition est vraie et un contre-exemple sinon.

1- Soit l’espace vectoriel réel des suites à valeurs réelles. Soit l’ensemble

des suites croissantes de . Est-ce que est un sous-espace vectoriel de ? 2- Est-ce que la réunion de deux sous-espaces vectoriels de ℝ^{2} est un sous-

espace vectoriel de ℝ^{2} ? 3- Soit ℝ, est-ce que les 3 vecteurs suivants forment une base de ℂ^{3} :

= ; ; ; 1 0 1 ; ; ; = ; ; ; \begin{matrix}1 \\ ^{2} + 1 \\ 0 \end{matrix} ; ; ; = ; ; ; \begin{matrix}1 \\ ^{2} + 1 \\ \end{matrix} ; ; ;

4. Soit _{2}(ℂ), = ( _{}). On Pose

= _{2}(ℂ) _{1 1}+ _{2 2} = 0

1- Montrer que est un sous-espace vectoriel de _{2}(ℂ). 2- Montrer que si ,^{}( est stable par transposition). 3- Montrer que les matrices

1 = 0 1 0 0 _{2} =^{}_{1} _{3} = \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}

sont des éléments de et forment une famille libre de . 4- Montrer que _{1}, _{2}, et _{3} forment une famille génératrice de et donc une

base de .